Keller的线代学习笔记(一）

第一节线代上完辣..讲了矩阵和一部分的行列式...
好多Keller都没听说过的证明什么的QAQ
那就按照课本和习题的顺序写下比较不好理解的部分

·设A是实对称矩阵，若A^2 = 0,则A=0.

因为A是对称矩阵，所以A = A^T,所以A·A^T=0
所以相当于在计算A·A^T的时候，答案矩阵的对角线元素都是A矩阵那一行元素的平方和（对应第i行和对应第i列相乘时因为是对称的所以相同）
又因为答案矩阵=0,所以对角线元素显然都为0,易推知各个元素都为0.得证.

·证明任意方阵都可以表示为对称矩阵与反对称矩阵之和

这个有点难顶...设A为方阵且B=(A+A^T)/2 C=(A-A^T)/2,则B+C=A
那么只需要证B是对称矩阵而C是反对称矩阵就好了
首先那个除以二都是可以忽略的,因为是数乘并不影响矩阵的对称性质
那么就看A+A^T,这个显然可以知道是对称矩阵的,因为你相当于对于加完之后的新矩阵A'来说每个位置的数a'ij 是aij+aji,而a'ji是aji+aij嘛,所以是对称矩阵
再说A-A^T,还是一个道理,对新矩阵A'来说每个位置的数a'ij 是aij-aji,而a'ji是aji-aij,那么a'ij和a'ji显然是互为相反数的,所以是反对称矩阵的(注意反对称矩阵的定义~!).

·设A,B是n阶方阵且 A＋B=E,证明AB=BA

这个就比较水了,因为A+B=E,所以B=E-A
AB=A(E-A)=A-AA
BA=(E-A)A=A-AA
故AB=BA

·设AB都是对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA

这个需要用到一个性质: (AB)^T=B^T·A^T
要证明是充分必要条件就得两个方向证嘛
先正面: 如果AB是对称矩阵，那么AB=(AB)^T=B^T·A^T,又因为A和B都是对称矩阵,所以A=A^T,B=B^T,所以AB=(AB)^T=B^T·A^T=BA,故AB=BA
再反面: 如果AB=BA,则(AB)^T=(BA)^T=A^T·B^T,又因为A和B都是对称矩阵,所以A=A^T,B=B^T,所以(AB)^T=(BA)^T=A^T·B^T=AB,故(AB)^T=AB即AB为对称矩阵
得证

更多关于习题

1.课本习题有个让举例子的真是搞心态,找了半天,见图吧

2.还一个是判断题里的关于AB矩阵的平方差和完全平方公式的问题
那个A和B的都是错的！因为乘开之后应该是AA+AB+BA+BB,AB和BA不能合并,但AE和EA都是A．