September 19, 2019

Keller的线代笔记（三）

9·27事件后，不如来学学线代压压惊~

行列式的初等变换

先是行列式的初等变换有三种操作
1.互换任意两行，行列式变号
2.某一行中元素的公因数k可以提出到行列式外
3.将第i行乘k后加到第j行后行列式不变
前两种在上一篇中有证明，这里看下第三种
$\begin{vmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} & \\ &...\\ a_{i1}&... &a_{in} & \\ &...\\ a_{j1}& ... & a_{jn} & \\ &...\\ a_{n1}&...&a_{nn} \end{vmatrix}\Rightarrow \begin{vmatrix} a_{11} &... &a_{1n} \\ &...\\ a_{i1}&... &a_{in} \\ &...\\ a_{j1}+ka_{i1}&... &a_{jn}+ka_{in} \\ &...\\ a_{n1}&...&a_{nn} \end{vmatrix}$
根据我们之前得到的结论，如果行列式的某一行均为两个数相加的形式，可以将这一行拆开拆成两个行列式相加的形式，所以在这里也可以拆开得到
$\begin{vmatrix} a_{11} &... &a_{1n} \\ &...\\ a_{i1}&... &a_{in} \\ &...\\ a_{j1}+ka_{i1}&... &a_{jn}+ka_{in} \\ &...\\ a_{n1}&...&a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} &... &a_{1n} \\ &...\\ a_{i1}&... &a_{in} \\ &...\\ a_{j1}&... &a_{jn} \\ &...\\ a_{n1}&...&a_{nn} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11} &... &a_{1n} \\ &...\\ a_{i1}&... &a_{in} \\ &...\\ ka_{i1}&... &ka_{in} \\ &...\\ a_{n1}&...&a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} &... &a_{1n} \\ &...\\ a_{i1}&... &a_{in} \\ &...\\ a_{j1}&... &a_{jn}\\ &...\\ a_{n1}&...&a_{nn} \end{vmatrix}$
所以结论3成立。

行列式的计算

在说行列式的几种计算方式前，先来看上三角行列式的计算
结论： $\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &... &a_{1n-1}&a_{1n} \\ 0& a_{22}&... &a_{2n-1} &a_{2n} \\ 0&0 &...&a_{3n-1}&a_{3n}\\ &&...\\ 0&0&...&0&a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}\cdot a_{22}...\cdot a_{nn}$
证明也很简单，行列式的计算式为 $\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &...&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22} &...&a_{2n}\\ &......\\ a_{n1}&a_{n2} &...&a_{nn} \end{vmatrix}=\sum _{p_1,p_2...p_n}(a_1p_1\cdot a_2p_2...a_np_n)\cdot(-1)^{\tau(p_1...p_n)}$
第n行仅 $a_{nn}$ 非零,所以 $a_{np_n}$ 项的 $p_{n}$ 只有是n是才不为零，此时 $p_{n}$ =n故 $p_{n-1}$ 不能为n，所以 $p_{n-1}$ 只能为n-1，同理可知计算式中的 $p_{1},p_2...p_n$ 是唯一的情况即1,2...n，可得上三角行列式为对角线元素的乘积。
那么如果是左上角全零的形式呢？
自然我们可以通过行间交换转换成上/下三角矩阵的形式，转换需要进行 $\frac{n(n-1)}{2}$ 次，所以结果要乘 $(-1)^\frac{n(n-1)}{2}$

行列式按行展开

先说余子式， $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$ 就是把a行列式的第i行和第j列划掉之后剩下的行列式,例如 $M_{32}$ 即为
$\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} &a_{14} \\ a_{21}& a_{22} &a_{23} &a_{24} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} &a_{34} \\ a_{41}& a_{42} &a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\Rightarrow \begin{vmatrix} a_{11} &a_{13} &a_{14} \\ a_{21}& a_{23} &a_{24} \\ a_{41}& a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}$
而代数余子式则是
$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
利用代数余子式我们可以得到行列式按行展开的形式，以按第一行展开为例：
$\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} &a_{14} \\ a_{21}& a_{22} &a_{23} &a_{24} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} &a_{34} \\ a_{41}& a_{42} &a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}+a_{14}A_{14}$
下面给出证明：
(1)引理：对于某一行仅有一个非零元素的行列式，将该元素通过互换行列操作转换到左上角，易得 $\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12}&... &a_{1j}&... &a_{1n} \\ &&...\\ a_{i1}&a_{i2}&... &a_{ij}&... &a_{in} \\ &&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nj}&...&a_{nn} \end{vmatrix}=(-1)^{i+j-2}\begin{vmatrix} a_{ij} & 0 &0 &... &0 \\ a_{1j} & a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ & & &...\\ a_{nj}&a_{n1}&a_{n2} & ... &a_{nn} \end{vmatrix}$ 对于除去第一行和第一列的矩阵，我们可以在不改变第一行0的分布情况下将其转换成下三角矩阵，于是得到了
$\begin{vmatrix} a_{ij} & 0 & 0 &...&0 \\ x& t& 0&...&0 \\ x& t& t & ...&0\\ x& t& t&...&t \end{vmatrix}$ ,这个行列式的值即为 $a_{ij} \cdot t\cdot t ...t$ ,即为 $=(-1)^{i+j-2}a_{ij}M_{ij}=a_{ij}A_{ij}$
(2)定理： $\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} &a_{14} \\ a_{21}& a_{22} &a_{23} &a_{24} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} &a_{34} \\ a_{41}& a_{42} &a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}+0+0+0 &0+a_{12}+0+0 &0+0+a_{13}+0 &0+0+0+a_{14} \\ a_{21}& a_{22} &a_{23} &a_{24} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} &a_{34} \\ a_{41}& a_{42} &a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}+a_{14}A_{14}$
转化成4个(1)中的形式，很容易就得出了结论。

练习册习题解答

要不还是简单写写稍微有点难的题目的思路...详细的再说
关于1.(9) 需要知道一个性质：行列式的元素与另一行相应的元素的代数余子式的乘积之和为零
4题可以求出|A|的具体值
7题（2）不要被复杂的样子吓到，就按方法一步一步来
10题就是把课本上范德蒙德行列式的结论用一下
11题(1)是一个超难想的等比数列...(Keller快做哭了(主要因为菜))
11题(2)也是递归但相比(1)就简单很多

一下是各个题目的详细解答：

1.填空题

（1）求逆序数的做法见笔记二逆序数是奇数所以为奇排列。
（2） 1274i56j9 显然i和j分别为3或8，分别代入尝试即可。
（3）项的符号同样取决于逆序数，第一个排列为532416是偶排列，第二个为234165也为偶排列，所以都是正的
（4）计算行列式的时候，根据计算式，对行列式的每一行和每一列都只能且必须取一个元素再乘起来，所以如果想出x的4次方，只能取主对角线的4个，再计算逆序数后得系数9，同理，要想出x的三次方，只能取第一行第二个，第二行第一个，第三行第三个，第四行第四个，再计算逆序数后得系数-6.注意不要忘了通过逆序数来确定正负！！！
（5）通过行的互换将其转化成下三角矩阵即可
（6）只说第二个，借助第一行的1 1 1 ，向下消除至转化成上三角矩阵即可。
（7）
$\begin{vmatrix} A_1+A_2 &2A_1 &A_4 & A_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A_1&2A_1 &A_4 & A_3 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} A_2 &2A_1 &A_4 & A_3 \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} A_2 &A_1 &A_4 & A_3 \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} A_1 &A_2 &A_3 & A_4 \end{vmatrix}=4$
（8）奇数阶反对称矩阵的行列式为0 是可以证明的, 将该反对称矩阵各行提出一个-1，因为是奇数阶所以外面总体提出一个-1，又因为是反对称矩阵，主对角线均为0，所以提出-1后剩余行列式与原行列式相等，故行列式的相反数与其本身相等，则值为０.
（9）需要知道一个性质：行列式的元素与另一行相应的元素的代数余子式的乘积之和为零所以原题给出了第三行和第四行的余子式，只需计算出第四行的代数余子式，即可解得a=9.