September 14, 2019

Keller的线代学习笔记（二）

震惊！萌新Keller居然惨遭黑手！究竟是何方妖孽如此狠心！

上一篇讲了矩阵的一些基本操作，下面是行列式

先说行列式是咋来的，先看二阶行列式
$\left\{\begin{matrix}\ a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_1 \\a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{matrix}\right.$
先看这个二元一次方程组，根据高斯消元可以求出他的两个元的解
$x_1=\frac{a_{22}b_1-a_{12}b_2}{a_{21}a_{22}-a_{21}a_{12}}$ , $x_2=\frac{a_{21}b_1-a_{11}b_2}{a_{21}a_{12}-a_{11}a_{22}}$
那么为了能更简单的记住这两个式子，数学家就搞出了行列式这种东西
定义这样一个二阶行列式 $\begin{vmatrix} a &b \\ c& d \end{vmatrix}$ 为 ad-bc
那么 $x_1=\frac{\begin{vmatrix} b_1 &a_{12} \\ b_2& a_{22} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21}& a_{22} \end{vmatrix}}$ , $x_1=\frac{\begin{vmatrix} a_{11}&b_1 \\ a_{21}&b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21}& a_{22} \end{vmatrix}}$

继续看三阶行列式
$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3 \end{matrix}\right.$
如上三元一次方程组，同样可以得到一个由行列式构成的求根公式
$x_1=\frac{\begin{vmatrix} b_1&a_{12}&a_{13}\\ b_2&a_{22}&a_{23} \\ b_3& a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}& a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}}$ 对应的，x2，x3即将分子上对应的第二第三列换成非齐次项（b）

对于一个三阶的行列式 $\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}& a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}$ 它的求法是利用对角线法则，这里借用一张图来看
TIM--20190914191019

那么n阶方阵的行列式怎么求呢？

首先需要了解一个东西叫排列的逆序数
先说逆序，就是在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
例如一个排列 3 2 5 1 4，我们要计算它的逆序数，就从左往右遍历，对于每一个数，找它的前面比它大的数，找到的总数即为这个排列的逆序数。
对于这个排列
元素: 3 2 5 1 4
他前面比它大的数： 0 1 0 3 1 加和为5
所以这个排列的逆序数为5，我们用 $\tau(32514)=5$ 来表示。

那么再看行列式，以三阶行列式为例，事实上对计算式中的一项 $a_{1x}a_{2y}a_{3z}$ x,y,z事实上就是1，2，3的全排列
而如果对应排列的逆序数为偶数，则对应项前的符号为正号，奇数则为负号。

由此我们可以得到n阶行列式的通项即为：
$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &...&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22} &...&a_{2n}\\ &......\\ a_{n1}&a_{n2} &...&a_{nn} \end{vmatrix}=\sum _{p_1,p_2...p_n}(a_1p_1\cdot a_2p_2...a_np_n)\cdot(-1)^{\tau(p_1...p_n)}$

对换

定义：一个排列的任意两元素对换，逆序数改变奇偶
证明：分为两步
（一）先看 相邻对换
$p_1,p_2...a,b...p_n \rightarrow p_1,p_2...b,a...p_n$
相邻的两元素a,b对换，只有两种情况：
（1）a<b 那么 b元素的逆序数不变，而a的逆序数加一，总的排列逆序数加一，奇偶改变
（2）a>b 那么 b元素的逆序数减一，而a的不变，总的排列逆序数减一，奇偶改变
（二）再看一般情况
$p_1...a\overbrace{...}^{k}b...p_n\rightarrow p_1......ab......p_n\rightarrow p_1...b\overbrace{...}^{k}a...p_n$
我们将不相邻的对换转化成多次相邻对换的结果，那么相当于：
先进行k次相邻对换使a，b相邻→ab交换→再将b与a分开进行k次相邻对换
所以一共进行2k+1次相邻对换，奇偶改变。

行列式的性质

(1)转置： $\begin{vmatrix} A^T \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$
这个结论证明比较复杂...建议记住结论(逃...
(2)互换任意两行，行列式变号
$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &...&a_{1n} \\ &......\\ a_{i1}&a_{i2} &...&a_{in}\\ &......\\ a_{j1}&a_{j2}&...&a_{jn}\\ &......\\ a_{n1}&a_{n2} &...&a_{nn} \end{vmatrix}\rightarrow \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &...&a_{1n} \\ &......\\ a_{j1}&a_{j2} &...&a_{jn}\\ &......\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ &......\\ a_{n1}&a_{n2} &...&a_{nn} \end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &...&a_{1n} \\ &......\\ a_{j1}&a_{j2} &...&a_{jn}\\ &......\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ &......\\ a_{n1}&a_{n2} &...&a_{nn} \end{vmatrix}=\sum _{p_1,p_2...p_n}(a_1{^r}p_1\cdot a_2{^r}p_2...a_i{^r}p_i\cdot a_j{^r}p_j...a_n{^r}p_n)\cdot(-1)^{\tau(p_1...p_n)}$
$=\sum _{p_1,p_2...p_n}(a_1p_1\cdot a_2p_2...{\color{Red} a_ip_j \cdot a_jp_i}...a_np_n)\cdot(-1)^{\tau(p_1...p_n)}$
注意标红的两项，可以发现事实上即为Pi和Pj进行了对换，则 $\tau(p_1...p_n)$ 改变，则行列式计算式中每一项前的符号都改变
则 $\begin{vmatrix} A^r \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$

(3)推论：行列式两行相等，则行列式必为0
这个可以由（2）很快推知，如果两行相等，互换这两行，新旧行列式相等且互为相反数，则行列式为0
(4) $\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &...&a_{1n} \\ &......\\ ka_{i1}&ka_{i2} &...&ka_{in}\\ &......\\ a_{n1}&a_{n2} &...&a_{nn} \end{vmatrix}=k\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &...&a_{1n} \\ &......\\ a_{i1}&a_{i2} &...&a_{in}\\ &......\\ a_{n1}&a_{n2} &...&a_{nn} \end{vmatrix}$
这个也很好理解，对于某一行(列)中的元素都乘k，则相当于在计算式中的ai处乘k，最后k可以从∑中提出来变为对整体乘k
(5)推论：行列式两行成比例，则行列式必为0
行列式两行成比例，将比例系数提出后就出现了相等的两行
(6) $\begin{vmatrix} a_{11}&...&a_{1i}+b_{1i} &...&a_{1n} \\ a_{21}&...&a_{2i}+b_{2i} &...&a_{2n}\\ &&...\\ a_{n1}&...&a_{ni}+b_{ni} &...&a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}&...&a_{1i} &...&a_{1n} \\ a_{21}&...&a_{2i} &...&a_{2n}\\ &&...\\ a_{n1}&...&a_{ni} &...&a_{nn} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11}&...&b_{1i} &...&a_{1n} \\ a_{21}&...&b_{2i} &...&a_{2n}\\ &&...\\ a_{n1}&...&b_{ni} &...&a_{nn} \end{vmatrix}$
(7) $\begin{vmatrix} kA \end{vmatrix}=k^n\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$
这里(7)(8)都是直接带到计算式中看就可以证明，较为简单这里不再赘述。

P.S.后面还有行列式的初等变换待更新